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林伟南、王国祯、徐宙利三位北大校友突破65年数学难题！
1 ^2 t) U* _# r6 \8 w! @0 d原创 量子位 2025年05月06日 12:24 北京+ B( [8 ?3 H, ]
/ a1 b2 m; M3 B: N; [. A( G {65年数学难题新突破！来自复旦大学的林伟南、王国祯以及UCLA的徐宙利合作，解决了126维空间的Kervaire不变量问题。
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三位作者都是北大数院出身，该成果去年曾作为北大建校126周年贺礼做报告，现在完整论文终于上传arXiv。他们这次解决的是高维拓扑学中的核心难题之一，也被称为“末日假说”：如果该假说被证伪，许多基于它建立的所有其他猜想都将被推翻！
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7 [, E3 N+ `; Q* n' hKervaire不变量用于判断流形能否通过特定方法转化为球体。当一个流形可以精确地转化为球体时，该不变量等于零；无法转化为球体时，该不变量等于1。
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到了1960年，数学家们已经证明Kervaire不变量为1的流形存在于维度2、6、14、30中。前面的问题背景介绍都看不懂也没关系，观察这四个数字很容易得出他们似乎满足2^n-2的规律。数学家们很自然的假设这种流形还会存在于62、126、254等维度，但证明止步于62维，后面停滞了几十年未取得进展。
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0 W; Y [# D+ H* X, W4 p3 n+ |' d直到2009年，终于有人证明了大于等于254维时这样的流形不存在，至此，126维成为了全部问题的最后一块拼图。
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7 M& h" @0 B9 |1 O: K4 b; K林伟南、王国祯、徐宙利三人这次证明126维的方法结合了计算机计算和理论见解，被学术界评价为“堪称一项宏伟的工程”。
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从105种可能性到唯一解
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. C8 `- x H/ O; J$ t2 K几十年来，数学家们都在好奇一个问题：哪些维度存在一些奇怪的形状，其扭曲到即使利用特殊手段也无法转化为球体。通俗理解，每增加一个维度就意味着创造了一个新的移动方向，而不同维度都有各自的特性。比如在第8维和第24维（下图），数学家已经证明这两个维度可以让球体排列得特别紧密。而在其他维度中，球体的排列可能就没那么完美，甚至看起来有些“皱巴巴”的，就像一个被揉皱的纸团一样。通过找出这些具有扭曲形状的维度，数学家们可以更好地理解不同维度空间的性质和规律。
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" {; F6 k9 S/ Z' |% p而在林伟南等人的研究之前，数学家已经发现这些扭曲形状存在于第2、6、14、30和62维空间中，并且排除了除第126维之外的其他情况。也就是说，唯一不确定的第126维，现在已经被他们最终解决了。8 c9 h2 A8 A% d: K5 Q. q" a. X
& v, S8 T8 s0 i' A8 Z5 D0 [不过要想弄清楚他们是如何解决这个问题的，我们还得回顾一下前人取得的一些进展。- r5 F! g+ P! J. ?
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相关研究最早可以追溯到20世纪50年代，数学家John Milnor引入了目前流形研究中的一种通用方法——surgery（手术）。其中，流形在数学中指一个复杂的形状，比如一个弯曲的表面或更高维度的空间。而surgery就像是对这个形状进行“整形”。需要先切掉一部分，然后沿着切口的边缘把新的部分缝上去。这个过程必须非常小心，不能留下任何尖锐的角或边缘，因为数学家希望新的形状是平滑的，就像一个完美的球面一样。甚至当涉及到扭曲形状时，surgery还必须符合流形的“框架”，即流形在空间中的摆放位置。比如在下面这个例子中，将一个“甜甜圈”（环面）变成球体，需要经历切割——形状变化——缝合——拓扑等价这几个过程。最终结果是，虽然形状发生了改变，但在拓扑学上却是等价的（基本结构和性质相同）。利用surgery这一方法，数学家们得出以下发现：二维平面不存在奇异球体；在某些更高维度中，surgery可以使一些流形变成普通球体，同时使另一些变成奇异球体；还有一种特殊情况，某些流形无法通过surgery变成球体。这里所谓的奇异球体，是指在某个维度中与普通球体（标准球体）具有相同拓扑性质，但在微分结构上有所不同的球体。微分结构涉及到空间的局部平滑性，比如一个在普通球面上光滑的曲线可能在奇异球面上不光滑。/ }8 T. ~; M$ e. n* g
9 L2 B7 p4 n NBTW，当初John Milnor就因在七维空间中发现奇异球体而震惊数学界，并且之所以引入surgery，也是想探索不同维度中的奇异球体。基于上述发现，后来的研究聚焦在了第三种特殊情况上——某些流形无法通过surgery变成球体。就像下面这个经过特殊扭曲的二维形状：而为了进一步判断一个流形是否可以通过拓扑surgery变成一个球体，法国数学家Michel Kervaire于1960年正式提出了Kervaire不变量。可以转化为球体，Kervaire不变量为0；无法转化为球体，Kervaire不变量为1。有了这个计算数值，数学家们争相确定不同维度流形的Kervaire不变量。并且几年之内，他们就证明了在第2、6、14和30维空间中存在Kervaire不变量为1的扭曲流形。显然，这几个维度存在一个明显规律：每个数都比2的幂小2。
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后来在1969年，数学家William Browder证明了这一规律是唯一可能存在Kervaire不变量为1的地方。沿着这一规律，人们自然假设其他维度还包括62、126、254等等，同时还有人基于这一假设提出了大量相关猜想。不过由于假设并未得到完全证明，导致后来的猜想始终“摇摇欲坠”，所以这一假设也被称为“末日假说”。) H9 J, P( ~. b/ f) K& s
9 E5 Q# Q/ x; ]) ?再到后来，两项关键证明出现了：一个是在1984年，数学家们证明了62维确实存在扭曲流形；另一个是在2009年，Hopkins等人证明了满足Kervaire不变量为1的流形不可能存在于254维及以上的空间。排除之后，唯一剩下的只有第126维空间了。还是上面提到的William Browder，他在1969年发现了一个解决第126维问题的关键线索：在亚当斯谱序列第126列中的一个特定点，对于理解该问题至关重要。具体而言，这个点可以告诉我们126维流形是否可以被分类为具有Kervaire不变量为0或1的流形。这里要分为两种情况：其一，如果这个点在亚当斯谱序列的“无限”页（也就是最终页）上存活下来，那么这意味着在126维空间中存在两种类型的流形，即Kervaire不变量为0或Kervaire不变量为1。其二，如果这个点在“无限”页上没有存活下来，那么在126维空间中就只存在一种类型的流形，即Kervaire不变量为0的流形。5 U. f0 f7 a& _# H4 P2 d" f
+ I$ q y7 O8 m; b2 ?概括而言，对于第126列中的特殊点，有105种不同的假设方式可能导致它在到达“无限”页之前消失。为了排除这些可能性，林伟南等人进行了合作。其中由林伟南开发的计算机程序，首先排除了101种可能性。后来又花了1年时间，继续排除了最后4种可能。最终他们证明了，William Browder提出的特殊点确实存活到了“无限”页，即第126维具有Kervaire不变量为1的流形。% i& l" h, F2 V2 D
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研究团队三位作者中，王国祯和徐宙利在北大数院本科和硕士期间（2004-2011）一直是同学，硕士阶段还是舍友。从北大数院毕业后，王国祯到MIT读博，2016年来到复旦大学上海数学中心从博士后一路做到教授。9 I6 {9 u4 j. q: K. ?, K
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△王国祯
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0 [1 N7 ^, D$ j" X: P8 Q- ^5 k徐宙利则去了芝加哥大学读博，毕业后先后在MIT、UCSD和UCLA任教，现为UCLA数学系教授。
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$ Z. t# y/ \$ E& I' _△徐宙利
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两人一直保持合作关系，截止目前已在数学四大刊上联手发表了3篇论文。
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) P8 ?$ T. \3 c- @/ a$ n4 u4 k林伟南比他们年龄小一些，2011年来到北大数院读本科，后到芝加哥大学读博，徐宙利与林伟南在芝加哥大学都接受Peter May的指导。* t0 I; ~6 J" |/ Q$ N
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2011年，当徐宙利来到芝加哥大学时就致力于研究流形的计算问题，导师Peter May提议他研究126维Kervaire不变量问题，还把他介绍给这方面的专家西北大学教授Mark Mahowald。Mark Mahowald听说后立即否决了这项提议，他认为126维问题“将是一个终生难题”，并指导徐宙利去研究更低维度的相关问题。仅两年后，Mark Mahowald于2013年不幸去世，徐宙利等人却没有停下研究126维Kervaire不变量问题的脚步。十多年后，当这个这个问题被解决，三位作者特别将这篇具有里程碑意义的论文献给了Mahowald，表达对这位代数拓扑学大师的敬意。
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论文地址：
0 g! t# i( `& c w$ h& }$ Ghttps://arxiv.org/abs/2412.108792 G6 D* F. m% ~
. J& M7 G, \& G3 X" \/ G" Q参考链接：
* h, {- }4 G8 E. I0 {' e2 u[1]https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/5 Z6 H2 h$ ~. O6 {( Z A7 N9 S$ a! _
[2]https://news.ycombinator.com/item?id=4389619 |
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发表于 2025-5-15 10:08:53
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